domingo, 10 de octubre de 2010

Paradoja Allais

La paradoja de Allais es un problema de elección, diseñado por Maurice Allais para mostrar una falta de coherencia de las opciones reales observados con las predicciones de la teoría de la utilidad esperada. 
Contenido:
1- Planteamiento del problema 
2- Una prueba matemática de incompatibilidad 
2.1- Experimento 1
 2.2- Experimento 2

1- Planteamiento del problema:
La paradoja de Allais surge al comparar las opciones de los participantes en dos experimentos diferentes, cada uno de los cuales consta de una elección entre dos apuestas, A y B. Los beneficios para cada juego en cada experimento son los siguientes:
:
Experimento 1Experimento 2
Gamble 1AGamble 1BGamble 2AGamble 2B
GananciasProbabilidadGananciasProbabilidadGananciasProbabilidadGananciasProbabilidad
$1 million100%$1 million89%Nada89%Nada90%
Nada1%$1 million11%
$5 million10%$5 million10%

Varios estudios implican pagos monetaria hipotética y pequeña, y, recientemente, la participación los resultados de salud han apoyado la afirmación de que cuando se le presenta una elección entre 1A y 1B, la mayoría de la gente elegiría 1A. Del mismo modo, cuando se le presenta una elección entre 2A y 2B, la mayoría de la gente elegiría 2B. Allais afirmó además que era razonable elegir 1A solo o sola 2B.

Sin embargo, que la misma persona (que eligió 1A 2B solo o sola) elegiría tanto 1A y 2B juntos es incompatible con la teoría de la utilidad esperada. Según la teoría de la utilidad esperada, la persona debe elegir entre 1A y 2A o 1B y 2B.

La incompatibilidad se deriva del hecho de que en la teoría de la utilidad esperada, los resultados de la igualdad no debe tener ningún efecto sobre la conveniencia de una apuesta, la igualdad de resultados debe tenerse en cuenta. Cada experimento da el mismo resultado que el 89% del tiempo (a partir de la fila superior y bajando, tanto 1A y 1B dar un resultado de $ 1 millón, y ambos 2A y 2B dar un resultado de la nada). Si "consecuencia común" este 89% se tiene en cuenta, a continuación, las apuestas quedarán ofrecer la misma opción.

Se puede ayudar a re-escribir los pagos. Después sin tener en cuenta la posibilidad de 89% de ganar el mismo resultado a continuación, 1B se deja que ofrece un 1% de probabilidad de ganar nada y un 10% de posibilidades de ganar $ 5 millones, mientras 2B también se deja que ofrece un 1% de probabilidad de ganar nada y un 10% oportunidad de ganar $ 5 millones. Por lo tanto, la elección 1B y 2B ahora claramente se ve como la misma elección. De la misma manera, 1A y 2A también debe ahora ser visto como la misma elección.

Experimento 1Experimento 2
Gamble 1AGamble 1BGamble 2AGamble 2B
GananciasProbabilidadGananciasProbabilidadGananciasProbabilidadGananciasProbabilidad
$1 million89%$1 million89%Nada89%Nada89%
$1 million11%Nada1%$1 million11%Nada1%
$5 million10%$5 million10%

Allais presentó su paradoja como un contraejemplo para el axioma de independencia (también conocido como el "principio de cosa segura" de la teoría de la utilidad esperada).

Independencia significa que si un agente es indiferente entre loterías sencilla L1 y L2, el agente también es indiferente entre L1 mezclado con un L3 lotería arbitraria simple con probabilidad p L2 y L3 se mezcla con la misma probabilidad p. La violación de este principio se conoce como la "consecuencia común" problema (o "consecuencia común" efecto). La idea del problema de consecuencia común es que el premio ofrecido por el aumento de L3, L1 y L2 convertido en premios de consolación, y el agente va a modificar las preferencias entre las dos loterías con el fin de minimizar el riesgo y la decepción en caso de que no ganar el premio mayor ofrecidos por L3.

Las dificultades de este tipo dio lugar a una serie de alternativas y generalizaciones de la teoría, en particular, incluyendo la teoría prospectiva, desarrollada por Daniel Kahneman y Amos Tversky, la utilidad ponderada (masticar) y la utilidad esperada de base dependientes de John Quiggin. El punto de estos modelos es que un rango más amplio de comportamiento que es coherente con la teoría de la utilidad esperada.

También es pertinente aquí es la teoría del encuadre de Daniel Kahneman y Amos Tversky. artículos idénticos dará lugar a diferentes opciones si se presenta a los agentes de manera diferente (es decir, una cirugía con una tasa de supervivencia del 70% frente a un 30% de probabilidad de la muerte) Sin embargo, el punto principal Allais desea hacer, es que el axioma de independencia de la teoría de la utilidad esperada no puede ser un axioma. El axioma de que la independencia dos resultados idénticos en un juego de azar deben ser tratadas como irrelevantes para el análisis de la apuesta en su conjunto. Sin embargo, esto pasa por alto la noción de complementariedad, el hecho de su elección en una parte de un juego de azar puede depender de los resultados posibles en la otra parte de la apuesta. En la elección anterior, 1B, hay un 1% de probabilidad de conseguir nada. Sin embargo, este 1% de probabilidad de conseguir nada también lleva consigo un gran sentido de decepción si tuviera que elegir que apostar y perder, sabiendo que podría haber ganado con el 100% de certeza, si usted había escogido 1A. Este sentimiento de decepción sin embargo, está supeditada a los resultados de la otra parte de la apuesta (es decir, la sensación de seguridad). Por lo tanto, Allais argumenta que no es posible evaluar las porciones de apuestas o las elecciones de forma independiente de las otras opciones presentadas, como el axioma de independencia exige, por lo que es un juez pobres de nuestra acción racional (1B no pueden ser valoradas independientemente de 1A como la independencia o principio de lo que requiere de nosotros). Nosotros no actuamos irracionalmente la hora de elegir 1A y 2B, la teoría de la utilidad esperada y no no es lo suficientemente robusta como para capturar tales "racionalidad limitada" decisiones que en este caso surgen debido a la complementariedad.

Sin embargo, que la misma persona (que eligió 1A 2B solo o sola) elegiría tanto 1A y 2B juntos es incompatible con la teoría de la utilidad esperada. Según la teoría de la utilidad esperada, la persona debe elegir entre 1A y 2A o 1B y 2B.

La incompatibilidad se deriva del hecho de que en la teoría de la utilidad esperada, los resultados de la igualdad no debe tener ningún efecto sobre la conveniencia de una apuesta, la igualdad de resultados debe tenerse en cuenta. Cada experimento da el mismo resultado que el 89% del tiempo (a partir de la fila superior y bajando, tanto 1A y 1B dar un resultado de $ 1 millón, y ambos 2A y 2B dar un resultado de la nada). Si "consecuencia común" este 89% se tiene en cuenta, a continuación, las apuestas quedarán ofrecer la misma opción.

Se puede ayudar a re-escribir los pagos. Después sin tener en cuenta la posibilidad de 89% de ganar el mismo resultado a continuación, 1B se deja que ofrece un 1% de probabilidad de ganar nada y un 10% de posibilidades de ganar $ 5 millones, mientras 2B también se deja que ofrece un 1% de probabilidad de ganar nada y un 10% oportunidad de ganar $ 5 millones. Por lo tanto, la elección 1B y 2B ahora claramente se ve como la misma elección. De la misma manera, 1A y 2A también debe ahora ser visto como la misma elección.

2- Una prueba matemática de incompatibilidad

Utilizando los valores anteriores y una función de utilidad de U (W), donde W es la riqueza, podemos demostrar exactamente cómo se manifiesta la paradoja.

Debido a que el individuo típico prefiere 1A 1B y 2B, 2A, podemos escribir la conclusión de que las utilidades esperadas de los preferidos es mayor que las utilidades esperadas de la segunda opción, o,

Experiment 1
1.00U(1\text{ m}) > 0.89U(1\text{ m}) + 0.01U(0) + 0.1U(5\text{ m})\,

 

Experiment 2

0.89U(0) + 0.11U(1\text{ m}) < 0.9U(0) + 0.1U(5\text{ m})\,


Podemos reescribir la ecuación de segundo (Experimento 2),
0.11U(1\text{ m}) < 0.01U(0) + 0.1U(5\text{ m})\,
1.00U(1\text{ m}) - 0.89U(1\text{ m}) < 0.01U(0) + 0.1U(5\text{ m})\,
1.00U(1\text{ m}) < 0.89U(1\text{ m}) + 0.01U(0) + 0.1U(5\text{ m})\,

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References
Allais, M., 1953, "Le comportement de l’homme rationnel devant le risque: critique des postulats et axiomes de l’école Américaine", Econometrica 21, 503-546.
Chew Soo Hong, Jennifer Mao and Naoko Nishimura, "Preference for longshot: An Experimental Study of Demand for Sweepstakes"
Kahneman, Daniel and Tversky, Amos, 1979, "Prospect Theory: An Analysis of Decision under Risk", Econometrica 47, 263-291
Oliver, Adam, 2003, "A quantitative and qualitative test of the Allais paradox using health outcomes", Journal of Economic Psychology 2003, vol. 24, no 1, pp. 35-48
Quiggin, J., 1993, Generalized Expected Utility Theory:The Rank-Dependent Expected Utility model, Kluwer-Nijhoff, Amsterdam.

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